| A matematika s a n
Mint az kztudott, a termszet trvnyeinek, jelensgeinek, teremtmnyeinek mindennek van valami kze a matematikhoz. Azonban a felletes vizsgl szmra ez a trvny felborulni ltszik, amikor nkkel kerl kapcsolatba. Szeretnnk rmutatni arra a tnyre, hogy ez megfigyels tves. A tudomny ez irny kutatsainak fantasztikus eredmnyei szlettek, amelyeket itt megosztunk nnel,
Remljk, hogy n is al tudja tmasztani tteleink java rszt sajt tapasztalatai alapjn. Az lltsokat ltalban - ppen ezrt is - bizonyts nlkl kzljk, rszben annak nyilvnvalsga miatt, rszben annak bizonyos hinyossgai miatt, egyes esetekben pedig annak bonyolultsga miatt.
Matematikai analzis
Alapdefinci: A n olyan pontok halmaza, amely flllt egy egyenest.
Jells: A tovbbiakban jellje P a nk, F pedig a frfiak halmazt!
llts: Brmely a (eleme F-nek) frfi idealista elkpzelse, hogy ltezik b (eleme P-nek) n, hogy bellk (a,b) rendezett pr alkothat.
Megjegyzs: Brmely n n topologikus vizsglatnl nagy lmnyt nyjthat bizonyos bels pontjainak mlyrehat analzise.
llts: Brmely n nnek pontosan egy G bels pontja ltezik. Ennek szoksos elnevezse G-pont.
Megjegyzs: A fenti llts leginkbb csak egzisztencia-ttelknt rvnyesl, mert a G-pontot igen nehz megtallni.
Definci: A nk fehrnemjt tarthalmaznak nevezzk. Ha a n sehogyan sem akar megszabadulni a tarthalmaztl, akkor azt mondjuk, hogy a n kompakt tartj.
llts: A n nem konvex halmaz.
llts: A n nylt halmaz.
llts: A P halmaz fellrl ersen korltolt.
Megjegyzs: A frfi bizonyos szervt flfoghatjuk f fggvnyknt, a n bizonyos szervt pedig p fggvnyknt. Az analzis izgalmas tmakre az f s p fggvnyek pof sszettelnek vizsglata.
llts: f s p egyms inverzei.
llts: Az f fggvny a p fggvny kzelben ri el maximumt.
llts: Legyen z(t) a zsebpnznk idfggvnye. Ekkor a nk hatsra z(t) szigoran monoton cskken lesz.
llts: Brmely n nt intenzven rdekli, hogy egy m frfi mifle sorozatokra kpes.
llts: Legyen a frfi egy eljel. Ekkor nagyon sok n Leibniz- tpus sorknt viselkedik, mert gyakran eljelet vlt.
Megjegyzs: Mg nem bizonytott hipotzis, hogy brmely a frfi esetn ltezik olyan b n, aki egyenletesen konvergl a-hoz.
llts: Ha n n lgzse szakaszonknt folytonos, az valami egszen jt szokott jelenteni.
llts: Legyen n egy n. Az n konvergenciakrben tallhat frfiak kztt heves vita trgyt kpezi, hogy vgl is ki legyen n rintje. Annak a frfinak jellse, aki megszerzi magnak ezt a jogot: Qr.
Megjegyzs: Fogjuk fel a nket fggvnyknt, s legyen most n egy ilyen fggvny. rdekes feladat, hogy egy jszaka alatt ki hnyszor tudja n-et differencilni. Vannak ugyanis egyszeresen differencilhat, ktszeresen differencilhat, s - a fene egye meg - vgtelen sokszor differencilhat fggvnyek is.
llts: Kt nt nem lehet egyidejleg differencilni.
Bizonyts: Jelljk a g s h nk egyttes jelenltt gh-val. Ekkor (gh)' = g'h + gh', ami pontosan azt jelenti, hogy elszr az egyiket differenciljuk s a msikat bkn hagyjuk, majd fordtva.
llts: Legyen n n egy fggvny. Ekkor n gyakran elg primitv fggvny.
Megjegyzs: Legyenek m s n halmazok. Szerencss esetben az m s n halmazok egymsba nylk. A nk esetben leggyakrabban megoldsra vr feltteles szlsrtk feladat: jussunk el a nnl bizonyos szempontbl vett extrm szlssgekig!
Felttel: ekzben kltsgeink maradjanak minimlisak. lvezetes feladat kiszmtani a n felleti integrljt, csupn a felletre mindig merleges egysgvektort kell a frfinak biztostania. Nkkel val ismerkedsnk folyamn gyakran akaratlanul de megmsthatatlanul alkalmazzuk az eltols mvelett.
llts: Brmely n kvncsi nem csak Dirichlet, Fejr, hanem brmely frfi magfggvnyre is.
Valsznsgszmts
Megfigyels: A valsznsgszmtsban szerepl urns feladatokat legszvesebben anysunkhoz kapcsoljuk.
Megjegyzs: Azt, hogy mit rejt egy n n vastag pulvere, leginkbb egy x valsznsgi vltozval modellezhetjk. Ha kiss lejjebb siklik tekintetnk, intervallumbecslsekkel is prblkozhatunk.
llts: Annak valsznsge, hogy megszerezzk lmaink njt, annyi, mintha a szmegyenesen prblnnk vletlenszeren kiszrni egy racionlis szmot. (Elmletileg nulla, de azrt nha ez is megtrtnhet.)
llts: Ha gy gondoljuk, hogy mi is tallunk magunknak megfelel nt, akkor a Nagy Szmok Trvnye csdt mond.
llts: A n termszete a ltez legsztochasztikusabb folyamat. (Megjegyzs: sztochasztikus = statisztikai valsznsgen alapul)
Megjegyzs: Ha a n kidob, sajt holmiainkon tapasztalhatjuk meg, mi az a szrs.
llts: A nk tulajdonsgai normlis eloszlsak.
Megfigyels: A frfiak azonban fknt csak a vrhat rtkek fltti tartomnyokra kvncsiak.
llts: Ltezik egy n n, akinek tudomnytrtneti szerepe volt, ugyanis amikor Bayes lednttte t, az volt a Bayes-dnts.
Grfelmlet
llts: Ha a nt grffal reprezentljuk, brmely n nn tallhat egy vgat.
llts: Legyen az n n llapot-id fggvnye M. Ekkor ltezik egy egzakt mdon meg nem hatrozhat T peridus (kzeltleg 28 nap), hogy adott t-re s minden egsz k-ra: M(t) = M(t + kT), s ezen llapotokban az elbbi vgat kapcsolatba hozhat bizonyos hlzati folyammal.
Anti-Dijkstra ttel: Nem ltezik olyan, hogy "egy nhz vezet legrvidebb t".
Megjegyzsek: Ha egy hzibulin felhalmozott szp nket egy grf cscsai reprezentljk, prbljunk a grfban Hamilton-ton vgigmenni! Nem rdemes olyan nvel foglalkozni, aki olyan lapos, hogy mr skba rajzolhat.
Matematikai logika
A nk fttele: Akrmi is egy n n aximarendszere, az mindig tartalmaz ellentmondsokat.
Lineris algebra
Definc: Ha egy n nvel terveink vannak, akkor azt mondjuk, hogy n neknk tetsz(leges).
Definci: Legyenek a P halmaz elemei vektorok. Legyenek a K vektorhalmaz tagjai azon nk, akik neknk tetsz(leges)ek. Ha K elemei nem tudnak egymsrl, akkor azt mondjuk, hogy K elemei linerisan fggetlenek.
Megjegyzs: Nyilvn annl jobb neknk, minl nagyobb K rangja.
Definci: Ha K elemei kifesztik ignyeink tert s K elemei linerisan fggetlenek, akkor K t bzisnak nevezzk.
Megjegyzs: Ha ignyeink megnnek, jabb nt kell bevonni a bzisba. Ha unjuk a rgit, j bzisra trnk t.
Jells: Legyen a frfiak bizonyos szerve egy v vektor.
llts: Brmely m frfinak pontosan egy v sajtvektora ltezik.
llts: Ha egy m frfinak nincsen nkbl ll bzisa, akkor m sajtvektorra: v = o
llts: Brmely n n egy m frfi v sajtvektora esetben annak rl, minl nagyobb |v|.
llts: Ha egy m frfi v sajtvektort x n hasznlja, akkor v algebrai multiplicitsa egyenl x-szel.
Definci: Ha egy m frfi htulrl akar egy n nt linerisan transzformlni, akkor azt mondjuk, hogy az m frfi v sajtvektora az n nre nzve ortoganlis.
Definci: Ha egy nnek egyetlen frfi sajtvektorra sincs szksge, akkor a nt nadjungltnak nevezzk.
Absztrakt algebra
Definci: A nt - mint algebrai struktrt - testnek nevezzk.
llts: Brmely frfit az izgatja legjobban, hogy egy n testben milyen mveletek vgezhetk el.
Definci: Ha egy m frfit nem izgatjk az n testek, akkor m homomorfizmus. Ha m kondizni jr, akkor m izomorfizmus. Ha m-nek kocsija van, akkor m automorfizmus.
Az algebra alapdefincii: Amelyik m frfit az n n kergeti, az az n idelja. Amit kivet r, az a hl. Amit akar tle, az a gyr. Amit felhasznl hozz, az a test. Mgis, amit a szexben elnyben rszest, az a csoport.
| |
AJÁNLOM AZ OLDALT
